Любая травма, полученная в трезвом виде, - военная.
Вот это Вы намешали

Страховым случаем является травма, относящаяся к лёгким или тяжёлым увечьям, перечень которых указан в ПП-855. Относится травма к страховым случаям или нет - решает ВВК. Есть связь между травмой и нахождением в состоянии опьянения или нет - решает суд. Если такая связь не установлена, то страховка тоже положена. Военная травма - это травма, полученная исключительно при исполнении служебных обязанностей. Страховой же может быть любая травма (согласно Перечню), полученная как на службе, так и во внеслужебное время.
документы начинать собирать после заключения ввк?
Конечно, а то вдруг ВВК не признает её лёгким или тяжёлым увечьем.
документы необходимо в москву отправлять или нужно прийти в ближайший филиал(офис) МАКСА с документами?
Только в Москву.
отправлять то можно самому или от имени командира части?
Документы, которые исходят от Вас, можете отправлять сами, а справки в/ч - командир, но лучше самому собрать всё до кучи и отправить, чтобы можно было контролировать, когда СК получила документы и не пропустила ли она 15-дневный срок на выплату страховой суммы
Нужен ли исходящий штамп на заявлениях?
Не нужен. Разве что,

если у Вас дома собственная канцелярия с делопроизводством